Решите уравнение 2sin2x - 4cosx + 3 sinx - 3 = 0 Укажите корни, принажлежащему отрезку [ пи ; 5пи/2]

Ответы на вопрос

Отвечает Кузьмина Екатерина.

Давайте решим уравнение:

2\sin 2x - 4\cos x + 3\sin x - 3 = 0

Шаг 1: Используем формулу для $\sin 2x$

\sin 2x = 2\sin x \cos x

Подставим это в уравнение:

2 \cdot (2\sin x \cos x) - 4\cos x + 3\sin x - 3 = 0

4 \sin x \cos x - 4\cos x + 3\sin x - 3 = 0

Шаг 2: Группируем по общим множителям

(4 \sin x \cos x - 4\cos x) + (3\sin x - 3) = 0

Вынесем общие множители:

4 \cos x (\sin x - 1) + 3 (\sin x - 1) = 0

(4\cos x + 3)(\sin x - 1) = 0

Шаг 3: Решаем каждое уравнение отдельно

$\sin x = 1$ на отрезке $[ \pi; \frac{5\pi}{2}]$ достигается при:

x = \frac{3\pi}{2} \quad (\text{так как } x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z})

Проверяем попадание в отрезок:
$\pi \leq \frac{3\pi}{2} \leq \frac{5\пи}{2}$ — подходит.

Теперь нужно найти $x$ на отрезке $[ \pi; \frac{5\pi}{2}]$ .

x = \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) \quad \text{(вторая четверть)}

x = 2\pi - \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) \quad \text{(четвертая четверть)}

Но наш отрезок начинается с $\pi$ , поэтому:

Вторая четверть относительно $\pi$ : $x = \pi - \arccos(-3/4)$ — но это меньше $\pi$ , не подходит.
Третья четверть: $x = \pi + \arccos(-3/4)$ — это уже внутри отрезка.
Четвертая четверть: $x = 2\pi - \arccos(-3/4)$ — тоже внутри отрезка.

Шаг 4: Итоговые корни на $[ \pi; \frac{5\pi}{2}]$

x_1 = \frac{3\pi}{2}, \quad x_2 = \pi + \arccos\left(-\frac{3}{4}\right), \quad x_3 = 2\pi - \arccos\left(-\frac{3}{4}\right)

Эти три значения являются всеми решениями данного уравнения на указанном отрезке.

Ответы на вопрос