Сколько корней, принадлежащих отрезку [0; π], имеет уравнение cos6x + cos4x = 0?

Давай разберём задачу шаг за шагом. У нас есть уравнение:

и нужно найти количество корней на отрезке $[0; \pi]$.

Шаг 1. Преобразуем с помощью формулы суммы косинусов

Есть формула:

Применим её:

То есть уравнение превращается в:

Шаг 2. Решим каждое уравнение отдельно

1. $\cos x = 0$
   Корни на $[0; \pi]$:

2. $\cos 5x = 0$
   Корни косинуса:

Нужно выбрать такие $x$, которые попадают в $[0; \pi]$:

• $k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{10}$

• $k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{10}$

• $k = 2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$

• $k = 3 \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{5} = \frac{7\pi}{10}$

• $k = 4 \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{4\pi}{5} = \frac{9\pi}{10}$

• $k = 5 \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \pi = \frac{11\pi}{10} > \pi$ (не подходит)

Шаг 3. Учтем пересечение корней

Обрати внимание, что $\frac{\pi}{2}$ уже входит в список корней уравнения $\cos 5x = 0$, поэтому мы не должны считать его дважды.

Итак, корни на $[0; \pi]$:

Всего 5 корней.

✅ Ответ