В квадрат 1 на 1 бросили 51 точку. Докажите, что найдётся прямоугольник со сторонами 1/5 и 3/13, содержащий не менее трёх точек.

Разберу это как задачу на принцип Дирихле: сначала сведём двумерную ситуацию к одной вертикальной полосе, а затем докажем, что среди 11 высот обязательно найдутся три близкие.

Разобьём квадрат $1\times 1$ на 5 вертикальных полос ширины $1/5$.

Всего точек $51$. Если бы в каждой из 5 полос было не больше 10 точек, то всего было бы не больше

точек, что противоречит условию. Значит, найдётся вертикальная полоса ширины $1/5$, в которой лежит не менее 11 точек.

Теперь смотрим только на эти 11 точек внутри одной такой полосы. Их $x$-координаты уже автоматически помещаются в отрезок длины $1/5$. Осталось доказать, что среди их $y$-координат найдутся три, помещающиеся в отрезок длины $3/13$.

Обозначим $y$-координаты этих 11 точек в порядке неубывания:

Все они лежат на отрезке длины 1, то есть

Предположим противное: никакие три из этих 11 точек не помещаются по вертикали в отрезок длины $3/13$. Тогда для любых трёх подряд идущих по высоте точек расстояние между первой и третьей должно быть строго больше $3/13$. Иначе эти три точки лежали бы в горизонтальной полосе высоты $3/13$.

Значит,

Сложим эти пять неравенств:

Левая часть сокращается телескопически:

Но это невозможно, потому что все точки находятся внутри квадрата высоты 1, значит

Получили противоречие.

Следовательно, среди этих 11 точек найдутся три, чьи $y$-координаты лежат в некотором отрезке длины $3/13$.

Эти три точки одновременно:

• лежат в одной вертикальной полосе ширины $1/5$;

• имеют высоты, попадающие в отрезок длины $3/13$.

Значит, они лежат в прямоугольнике со сторонами

Следовательно, в квадрате обязательно найдётся прямоугольник со сторонами $1/5$ и $3/13$, содержащий не менее трёх из данных 51 точек.