Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Три числа $a, b, c$ образуют арифметическую прогрессию (АП).
   Это значит, что разность между соседними числами одинаковая:

   $$b - a = c - b = d \quad \text{(где \(d\) — разность прогрессии)}$$

   Тогда числа можно записать как:

   $$a, \ a+d, \ a+2d$$

2. Сумма этих чисел равна 21:

   $$a + (a+d) + (a+2d) = 3a + 3d = 21 \implies a + d = 7$$

3. Условие для геометрической прогрессии (ГП): если уменьшить второе число на 1, а третье увеличить на 1, получим ГП.
   Новая последовательность:

   $$a, \ b-1, \ c+1 = a, \ (a+d)-1, \ (a+2d)+1$$

   Для ГП отношение соседних членов одинаковое:

   $$\frac{b-1}{a} = \frac{c+1}{b-1}$$

   Подставляем $b = a+d, c = a+2d$:

   $$\frac{a+d-1}{a} = \frac{a+2d+1}{a+d-1}$$

Решим уравнение:

1. Перемножим крест-накрест:

   $$(a+d-1)^2 = a(a+2d+1)$$

   Раскроем скобки:

   $$a^2 + 2ad - 2a + d^2 - 2d + 1 = a^2 + 2ad + a$$

   Приведём подобные:

   $$a^2 + 2ad - 2a + d^2 - 2d + 1 - a^2 - 2ad - a = 0$$ $$-3a + d^2 - 2d + 1 = 0 \implies 3a = d^2 - 2d + 1 \implies a = \frac{d^2 - 2d + 1}{3}$$

2. Также известно, что $a + d = 7 \implies a = 7 - d$.
   Подставим в предыдущее выражение:

   $$7 - d = \frac{d^2 - 2d + 1}{3}$$

   Умножим на 3:

   $$21 - 3d = d^2 - 2d + 1 \implies d^2 + d - 20 = 0$$

3. Решаем квадратное уравнение:

   $$d = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2}$$

   Два решения:

   $$d_1 = \frac{-1 + 9}{2} = 4, \quad d_2 = \frac{-1 - 9}{2} = -5$$

Находим числа:

• Для $d = 4$: $a = 7 - 4 = 3$
  Тогда АП: $3, 7, 11$
  Проверим ГП: второе число минус 1 = 6, третье число плюс 1 = 12 → последовательность $3,6,12$
  Отношение $6/3 = 2, 12/6 = 2$