Cos ^2 x/2 -sin ^2 x/2 =sin(π/2-2x)

Давай разберём это выражение шаг за шагом, как если бы я сам решал задачу на сайте вопросов и ответов.

Нам дано:

Шаг 1: Используем формулу для разности квадратов синуса и косинуса

Существует известная тригонометрическая формула:

Применим её к левой части:

Поскольку $2 \cdot \frac{x}{2} = x$.

Теперь уравнение выглядит так:

Шаг 2: Используем основную тригонометрическую идентичность

Мы знаем, что:

Применяем это к правой части:

Таким образом уравнение превращается в:

Шаг 3: Решаем уравнение $\cos x = \cos 2x$

Уравнение $\cos A = \cos B$ имеет общий вид решений:

Применяем это к нашему случаю:

1. Первый вариант: $x = 2\pi n + 2x \Rightarrow x - 2x = 2\pi n \Rightarrow -x = 2\pi n \Rightarrow x = -2\pi n$
   Это просто $x = 2\pi m$, где $m = -n$, то есть любое целое кратное $2\pi$.

2. Второй вариант: $x = 2\pi n - 2x \Rightarrow x + 2x = 2\pi n \Rightarrow 3x = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{3}$

Шаг 4: Записываем все решения

Итак, общее решение уравнения:

Это учитывает оба случая, потому что $x = 2\pi m$ тоже является частным случаем $x = \frac{2\pi n}{3}$ при $n = 3m$.

✅ Ответ: