Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y′tgx − y = 0 (напишите подробно решение).

Дано уравнение:

\[ y'\tg x-y=0 \]

Перенесём \( y \) вправо:

\[ y'\tg x=y \]

Разделим на \( \tg x \), где \( \tg x\neq 0 \):

\[ y'=\frac{y}{\tg x} \]

Так как \( \frac{1}{\tg x}=\ctg x \), получаем:

\[ y'=y\ctg x \]

Разделим переменные:

\[ \frac{dy}{y}=\ctg x\,dx \]

Интегрируем обе части:

\[ \int \frac{dy}{y}=\int \ctg x\,dx \]

Получаем:

\[ \ln |y|=\ln |\sin x|+C \]

Уберём логарифмы:

\[ y=C\sin x \]

Ответ: общее решение дифференциального уравнения:

\[ y=C\sin x \]

где \( C \) — произвольная постоянная.

0 0 Пожаловаться