исследуйте на непрерывность функции y= x умнож sign x. ПОМОГИТЕ

Дана функция:

\[ y = x \cdot \operatorname{sign} x \]

Функция \( \operatorname{sign} x \) устроена так:

\[ \operatorname{sign} x = \begin{cases} -1, & x < 0, \\ 0, & x = 0, \\ 1, & x > 0. \end{cases} \]

Тогда разберём по случаям.

• Если \( x < 0 \), то \( y = x \cdot (-1) = -x \).
• Если \( x = 0 \), то \( y = 0 \cdot 0 = 0 \).
• Если \( x > 0 \), то \( y = x \cdot 1 = x \).

Значит:

\[ y = |x| \]

Функция \( y = |x| \) непрерывна при всех \( x \).

Особенно проверим точку \( x=0 \), потому что именно там может быть проблема:

\[ \lim_{x \to 0-}(-x)=0 \]

\[ \lim_{x \to 0+}x=0 \]

И значение функции:

\[ y(0)=0 \]

Левый предел, правый предел и значение функции совпадают, значит функция непрерывна в нуле.

Ответ: функция \( y = x \cdot \operatorname{sign} x \) непрерывна на всей числовой прямой.

0 0 Пожаловаться