Образующая усечённого конуса составляет с плоскостью нижнего основания угол α. Диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей конуса. Сумма длин окружностей равна 2πm. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение.

Обозначим радиус нижнего основания усечённого конуса через $R$, радиус верхнего основания — через $r$, высоту — через $h$, а длину образующей — через $l$.

1. Используем условие о сумме длин окружностей.

По условию сумма длин окружностей обоих оснований равна $2\pi m$. Поэтому

Сократим на $2\pi$:

2. Используем условие перпендикулярности диагонали и образующей.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями $2R$ и $2r$ и высотой $h$.

Рассмотрим диагональ этой трапеции и боковую сторону, являющуюся образующей усечённого конуса. Поскольку диагональ перпендикулярна образующей, из условия перпендикулярности соответствующих векторов получаем

Разложим разность квадратов на множители:

Учитывая, что $R+r=m$, имеем

3. Используем угол между образующей и плоскостью нижнего основания.

Образующая длины $l$ образует с плоскостью нижнего основания угол $\alpha$. Поэтому

Отсюда

Подставим это выражение в равенство $h^2=m(R-r)$:

Поскольку $R>r$, делим обе части на $R-r$:

Следовательно,

Тогда высота усечённого конуса равна

4. Найдём площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, разностью радиусов и образующей, следует:

Подставим найденную высоту:

Так как $R+r=m$, окончательно получаем