ДАЮ 100 БАЛЛОВ НА РЕШЕНИЕ ЭТОЙ ЗАДАЧИ
cos3x - sin5x = √3 (cos5x + sin3x)

Решим уравнение:

\[ \cos 3x-\sin 5x=\sqrt3(\cos 5x+\sin 3x) \]

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

\[ \cos 3x-\sqrt3\sin 3x-\sin 5x-\sqrt3\cos 5x=0 \]

Используем формулы:

\[ \cos 3x-\sqrt3\sin 3x=2\cos\left(3x+\frac{\pi}{3}\right) \]

\[ \sin 5x+\sqrt3\cos 5x=2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right) \]

Получаем:

\[ 2\cos\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)-2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=0 \]

\[ \cos\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right) \]

Заменим \(\sin t\) на \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\):

\[ \cos\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-5x-\frac{\pi}{3}\right) \]

\[ \cos\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}-5x\right) \]

Если \(\cos A=\cos B\), то \(A=\pm B+2\pi n\), где \(n\in\mathbb Z\).

1) \[ 3x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}-5x+2\pi n \]

\[ 8x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \]

\[ x=-\frac{\pi}{48}+\frac{\pi n}{4} \]

2) \[ 3x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+5x+2\pi n \]

\[ -2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \]

\[ x=\frac{\pi}{4}-\pi n \]

Ответ: \[ x=-\frac{\pi}{48}+\frac{\pi n}{4} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n, \quad n\in\mathbb Z. \]

0 0 Пожаловаться