1)вычислить значение функции: f(x)=x^3+2x^2+x при x=1/2

 

 

2)исследовать функцию: y=3x^2+18x+5

 

помогите пожалуйста!!!

1) Вычисление значения функции

\( f(x) = x^3 + 2x^2 + x \)

Подставим \( x = \frac{1}{2} \):

\( f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + 1 = \frac{9}{8} \).

Ответ: \( \frac{9}{8} \) или 1,125.

2) Исследование функции

Исследуем функцию \( y = 3x^2 + 18x + 5 \).

1. Область определения: все действительные числа (\( \mathbb{R} \)).

2. Вершина параболы: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{18}{2 \cdot 3} = -3 \); \( y_0 = 3 \cdot (-3)^2 + 18 \cdot (-3) + 5 = 27 - 54 + 5 = -22 \). Вершина: \( (-3; -22) \).

3. Ось симметрии: \( x = -3 \).

4. Направление ветвей: \( a = 3 > 0 \), ветви вверх.

5. Точка пересечения с осью Oy: при \( x = 0 \), \( y = 5 \). Точка \( (0; 5) \).

6. Точки пересечения с осью Ox (нули функции): решим \( 3x^2 + 18x + 5 = 0 \). Дискриминант \( D = 18^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 324 - 60 = 264 \). \( \sqrt{264} = 2\sqrt{66} \). Корни: \( x_{1,2} = \frac{-18 \pm 2\sqrt{66}}{6} = -3 \pm \frac{\sqrt{66}}{3} \). Приближённо: \( x_1 \approx -3 + 2,71 = -0,29 \); \( x_2 \approx -3 - 2,71 = -5,71 \).

7. Промежутки монотонности: функция убывает на \( (-\infty; -3] \), возрастает на \( [-3; +\infty) \).

8. Наименьшее значение: \( y_{\min} = -22 \) при \( x = -3 \). Наибольшего значения нет.

0 0 Пожаловаться