Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же постоянное число, отличное от нуля. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия — одна из основных тем школьного курса алгебры. Она используется для решения математических задач, вычисления сложных процентов, описания роста населения, размножения бактерий, радиоактивного распада и других процессов.

1. Определение геометрической прогрессии

Последовательность чисел $b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n$ называется геометрической прогрессией, если для каждого натурального $n$ выполняется условие:

где:

• $b_n$ — n-й член геометрической прогрессии;

• $b_{n+1}$ — следующий член прогрессии;

• $q$ — знаменатель геометрической прогрессии, $q\neq0$.

Пример:

Каждое последующее число в этой последовательности в 3 раза больше предыдущего:

Следовательно, это геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1=2$, а знаменатель $q=3$.

2. Знаменатель геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти, разделив любой член последовательности, начиная со второго, на предыдущий:

Пример:

Дана последовательность:

Найдём знаменатель:

Проверим:

Поскольку отношение соседних членов постоянно, последовательность является геометрической прогрессией.

Знаменатель может быть положительным или отрицательным.

Например:

• При $q=2$: $3,6,12,24,\ldots$

• При $q=\frac12$: $16,8,4,2,\ldots$

• При $q=-2$: $1,-2,4,-8,\ldots$

• При $q=1$: $5,5,5,5,\ldots$

Если знаменатель отрицательный, знаки членов прогрессии чередуются.

3. Формула n-го члена геометрической прогрессии

Чтобы найти любой член геометрической прогрессии, необязательно последовательно вычислять все предыдущие.

Для этого используется формула:

где:

• $b_n$ — искомый член прогрессии;

• $b_1$ — первый член;

• $q$ — знаменатель;

• $n$ — порядковый