В окружности проведены хорды АС и BD так, что они пересекаются в точке Р. Докажите, что угол АРВ равен полусумме угла АОВ и угла COD.

Рассмотрим окружность с центром $O$. Хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Нужно доказать:

1) Перейдём от центральных углов к дугам

Центральный угол равен мере соответствующей дуги:

(здесь под $\overset{\frown}{AB}$ понимаем меру дуги $AB$ в градусах).

Значит, требуемое равенство эквивалентно такому:

2) Используем классическую формулу для угла между пересекающимися хордами

Известный факт (и его легко вывести через вписанные углы): угол, образованный двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен половине суммы мер дуг, стягиваемых этим углом и его вертикальным углом.

В нашем случае хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в $P$. Угол $\angle APB$ образован лучами $PA$ и $PB$.

• Лучи $PA$ и $PB$ “смотрят” на дугу $\overset{\frown}{AB}$.

• Вертикальный к нему угол $\angle CPD$ образован лучами $PC$ и $PD$ и “смотрит” на дугу $\overset{\frown}{CD}$.

По формуле получаем:

3) Возвращаемся к центральным углам

Подставляя $\overset{\frown}{AB}=\angle AOB$ и $\overset{\frown}{CD}=\angle COD$, получаем:

Что и требовалось доказать.