Высота, проведённая из вершины острого угла тупоугольного треугольника к его основанию, образует с боковыми сторонами углы 14° и 38°. Найдите углы треугольника.

Обозначим тупоугольный треугольник $ABC$ так, что высота проведена из вершины острого угла $A$ к основанию $BC$. Пусть $AH\perp BC$ — эта высота (точка $H$ лежит на прямой $BC$).

По условию высота $AH$ образует с боковыми сторонами $AB$ и $AC$ углы $14^\circ$ и $38^\circ$. Эти два угла “сидят” внутри угла при вершине $A$, поэтому

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $ABH$ и $ACH$:

1) Треугольник $ABH$

Он прямоугольный при $H$, а $\angle BAH=14^\circ$. Тогда второй острый угол:

Угол $\angle ABH$ — это угол между $BA$ и $BH$.

Но важно, что исходный треугольник тупоугольный, значит высота из вершины острого угла падает на продолжение основания, а не внутрь отрезка $BC$. То есть точка $H$ лежит вне отрезка $BC$ — за одной из вершин $B$ или $C$. Следовательно, один из углов $B$ или $C$ будет тупым.

Если точка $H$ лежит за вершиной $B$ (порядок точек на прямой $BC$: $H\!-\!B\!-\!C$), то луч $BH$ является продолжением луча $BC$ в противоположную сторону. Тогда угол $\angle ABH$ — внешний по отношению к углу $\angle ABC$, и

Это действительно тупой угол — подходит.

2) Треугольник $ACH$

Аналогично, $\angle HAC=38^\circ$, значит

Если $H$ за $B$, то $H$ не “за $C$”, а значит луч $CH$ направлен так же, как $CB$, и $\angle ACH$ совпадает с внутренним углом при $C$:

Но тогда сумма углов дала бы $52^\circ+104^\circ+52^\circ=208^\circ$, что невозможно. Значит здесь надо аккуратно: при $H$ за $B$ точка $H$ находится по ту сторону от $B$, и для вершины $C$ луч $CH$ идёт по прямой $CB$ (то есть действительно внутренняя сторона угла при $C$). Тогда $\angle C=\angle ACH=52^\circ$ — и получается противоречие с суммой. Значит мы неверно закрепили, какой из углов $14^\circ$ и $38^\circ$ относится к какой стороне.

По условию сказано лишь, что с боковыми сторонами получаются углы $14^\circ$ и $38^\circ$, но не сказано, с какой именно стороной какой. Поэтому нужно рассмотреть правильное распределение.

Правильное распределение углов

Пусть $\angle BAH=14^\circ$, $\angle HAC=38^\circ$ (то есть у стороны $AB$ стоит $14^\circ$, у $AC$ — $38^\circ$). Тогда:

• из $ABH$: $\angle ABH=76^\circ$, и при падении высоты за $B$ получаем

  $$\angle B=180^\circ-76^\circ=104^\circ.$$