Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр, равный 12 см, и две наклонные. Вычислите длины их проекций на данную плоскость, если угол между плоскостью и каждой наклонной равен соответственно 45º и 60º.

Пусть из точки $A$ к плоскости $\alpha$ опущен перпендикуляр $AH$, где $H$ — основание перпендикуляра на плоскости. Дано:

Из той же точки $A$ проведены две наклонные $AB_1$ и $AB_2$, которые пересекают плоскость в точках $B_1$ и $B_2$. Их проекции на плоскость — это отрезки $HB_1$ и $HB_2$ (потому что проекция точки $A$ на плоскость — это $H$, а точка $B_i$ уже лежит в плоскости).

Рассмотрим одну наклонную $AB$. Треугольник $AHB$ прямоугольный (прямой угол при $H$), потому что $AH \perp \alpha$, а $HB$ лежит в плоскости $\alpha$.

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$ равен углу между прямой $AB$ и её проекцией на плоскость, то есть:

Обозначим этот угол через $\varphi$. Тогда в прямоугольном треугольнике $AHB$:

Отсюда длина проекции наклонной на плоскость:

1) Для угла $45^\circ$

2) Для угла $60^\circ$

Ответ: проекции равны $12$ см и $4\sqrt{3}$ см.