Угол ABC=120 градусов. Из точки А проведён перпендикуляр AM к прямой BC. Найдите длину отрезка BM, если AB=18 см.

Рассмотрим угол $ABC=120^\circ$. Точка $M$ — основание перпендикуляра $AM$ к прямой $BC$, значит $AM \perp BC$. Поскольку отрезок $BM$ лежит на прямой $BC$, то

то есть треугольник $ABM$ прямоугольный (прямой угол при $M$).

Теперь важно понять, какой угол при $B$ в треугольнике $ABM$. Луч $BC$ образует с лучом $BA$ угол $120^\circ$. Но точка $M$ — проекция $A$ на прямую $BC$. При угле $120^\circ$ точка $A$ находится “слева” от $B$ относительно направления $BC$, поэтому $M$ попадает на продолжение $BC$ за точку $B$. Значит, луч $BM$ направлен противоположно лучу $BC$, и угол между $BA$ и $BM$ равен

В прямоугольном треугольнике $ABM$ гипотенуза $AB=18$, а прилежащий к углу $\angle ABM$ катет — это $BM$. Тогда

Подставляем:

Так как $\cos 60^\circ = \frac12$, получаем:

Ответ: $BM = 9$ см.