В треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из сторон. Найдите остальные углы и сторону треугольника, если: а=12, b=5, α=120 градусов.

Дано: в треугольнике $ABC$ стороны $a=BC=12$, $b=CA=5$, угол $\alpha=\angle A=120^\circ$ (то есть угол $\alpha$ лежит против стороны $a$).

Так как $\alpha=120^\circ$ — тупой угол, то противоположная ему сторона $a$ должна быть наибольшей. Действительно, $a=12>b=5$, значит треугольник возможен и (при таком тупом $\alpha$) решение будет единственным.

1) Находим угол $\beta$

Используем теорему синусов:

Отсюда

Подставим значения:

Тогда

Значит

Второго варианта $\beta=180^\circ-21.15^\circ$ быть не может, потому что $\alpha=120^\circ$, и сумма углов должна быть $180^\circ$, то есть оставшиеся два угла вместе дают всего $60^\circ$. Следовательно, $\beta$ обязан быть острым и меньше $60^\circ$.

2) Находим угол $\gamma$

3) Находим сторону $c$

Снова теорема синусов:

Отсюда

Подставим:

Ответ

(При желании можно округлить: $\beta\approx 21.2^\circ$, $\gamma\approx 38$