Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на две равные части, причем длина биссектрисы равна половине гипотенузы. Найти углы этого прямоугольного треугольника.

Ответ: углы треугольника равны 45°, 45° и 90°.

Разберем по шагам.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C = 90^\circ$, а биссектриса этого угла пересекает гипотенузу $AB$ в точке $D$.

По условию:

1. биссектриса делит гипотенузу на две равные части, то есть

   $$AD = DB;$$

2. длина биссектрисы равна половине гипотенузы, то есть

   $$CD = \frac{AB}{2}.$$

Теперь используем свойство биссектрисы:

Но $AD = DB$, значит

откуда

То есть катеты прямоугольного треугольника равны. А значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник.

В таком треугольнике два острых угла равны между собой, а их сумма равна $90^\circ$. Следовательно,

Итак, искомые углы:

Замечание: второе условие про длину биссектрисы тоже выполняется автоматически. В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех трех вершин, поэтому отрезок от прямого угла до середины гипотенузы действительно равен половине гипотенузы.