В равнобокой трапеции один из углов равен 135°. Большее основание равно 20 см, а меньшее основание

Ответы на вопрос

Отвечает Сафронова Аня.

Давай разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

Равнобокая трапеция с основаниями $a = 20$ см (большее) и $b = 10$ см (меньшее).
Один из углов при большем основании равен $135^\circ$ .
Нужно найти площадь.

1. Обозначения и построение:

Обозначим трапецию $ABCD$ , где $AB = 20$ см — большее основание, $CD = 10$ см — меньшее основание. Пусть угол при $A$ равен $135^\circ$ .

Пусть $AD = BC = x$ — боковые стороны (равнобокая трапеция).

2. Определим высоту трапеции:

Если опустить перпендикуляры из точек $C$ и $D$ на основание $AB$ , получим прямоугольные треугольники при боковых сторонах.

Угол при $A$ — это $135^\circ$ . Тогда острый угол при вершине прямоугольного треугольника равен:

\alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной и высотой:

3. Связь проекций с основаниями:

Сумма двух проекций боковых сторон равна разности оснований:

AB - CD = 20 - 10 = 10 \text{ см}

Проекции по 45° одинаковы, значит:

2 \cdot p = 10 \implies 2 \cdot (AD \cdot \cos 45^\circ) = 10

AD \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \implies AD = 5 \sqrt{2} \text{ см}

4. Находим высоту:

h = AD \cdot \sin 45^\circ = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot 1 = 5 \text{ см}

5. Площадь трапеции:

Формула площади трапеции:

S = \frac{(a+b)}{2} \cdot h = \frac{20+10}{2} \cdot 5 = \frac{30}{2} \cdot 5 = 15 \cdot 5 = 75 \text{ см²}

✅ Ответ:

\boxed{75 \text{ см²}}

В равнобокой трапеции один из углов равен 135°. Большее основание равно 20 см, а меньшее основание — 10 см. Найдите площадь трапеции.