В прямоугольном треугольнике ABC угол C=90 градусов; BC=12 см. Точка E лежит на катете AC, точка F принадлежит гипотенузе AB, причем EF перпендикулярно AB. AE=10 см, EF=6 см. Найдите гипотенузу AB.

Давай разберём задачу шаг за шагом, аккуратно, с пояснениями.

Дано:

• Прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом в точке $C$.

• $BC = 12$ см.

• Точка $E$ на катете $AC$.

• Точка $F$ на гипотенузе $AB$, $EF \perp AB$.

• $AE = 10$ см, $EF = 6$ см.

• Найти $AB$ (гипотенузу).

Шаг 1. Ввести координаты

Чтобы удобно работать с перпендикулярами и расстояниями, удобно поместить треугольник на координатную плоскость.

Пусть:

• $C = (0,0)$

• $B = (12,0)$ (так как $BC = 12$)

• $A = (0,a)$, где $a = AC$ (неизвестно)

Тогда:

• Катет $AC = a$

• Катет $BC = 12$

• Гипотенуза $AB = \sqrt{a^2 + 12^2} = \sqrt{a^2 + 144}$

Шаг 2. Задаём точки $E$ и $F$

• Точка $E$ на $AC$, значит $E = (0, y_E)$.

• Точка $F$ на $AB$, значит $F = (x_F, y_F)$ на прямой $AB$. Прямая $AB$ имеет уравнение:

Шаг 3. Условие перпендикуляра $EF \perp AB$

Склон гипотенузы $AB$: $k_{AB} = -\frac{a}{12}$

Перпендикуляр к этой прямой будет иметь наклон $k_{EF} = \frac{12}{a}$ (обратный отрицательный)

Тогда прямая через $E = (0, y_E)$:

Прямую $EF$ пересекает $AB$ в $F$, решаем систему: