Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна сумме площадей её оснований. Вычислите длину бокового ребра призмы, если сторона её основания равна 6 см.

Давайте решим задачу пошагово.

1. Обозначим известные величины:

   • Сторона основания правильной треугольной призмы $a = 6$ см.

   • Пусть боковое ребро призмы $h$ см (это то, что нам нужно найти).

2. Формула для площади боковой поверхности правильной треугольной призмы:
   Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр правильного треугольника с длиной стороны $a$ равен $3a$. Таким образом, площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}}$ будет равна:

   $$S_{\text{бок}} = 3a \cdot h.$$

3. Формула для площади основания:
   Основание призмы — это правильный треугольник, площадь которого можно вычислить по формуле:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}.$$

   Подставляем $a = 6$:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \, \text{см}^2.$$

4. Условие задачи:
   Площадь боковой поверхности равна сумме площадей двух оснований:

   $$S_{\text{бок}} = 2S_{\text{осн}}.$$

   Подставим известные выражения:

   $$3a \cdot h = 2 \cdot \left( 9 \sqrt{3} \right).$$

   Упростим:

   $$3 \cdot 6 \cdot h = 18 \sqrt{3},$$ $$18 \cdot h = 18 \sqrt{3}.$$

5. Найдем $h$:
   Разделим обе стороны уравнения на 18:

   $$h = \sqrt{3} \, \text{см}.$$

Таким образом, длина бокового ребра призмы равна $\sqrt{3}$ см.