Плоскости α и β пересекаются по прямой m. В плоскостях α и β проведены прямые a и b соответственно, параллельные прямой m. Расстояние между прямыми a и m равно 5 см, между b и m — 3 см. Найти угол между плоскостями, если расстояние между прямыми a и b равно 7 см.

Рассмотрим плоскость, перпендикулярную прямой $m$. Пусть она пересекает прямую $m$ в точке $O$.

Так как прямые $a$ и $b$ параллельны $m$, то в этом перпендикулярном сечении они дадут точки $A$ и $B$:

• точка $A$ соответствует прямой $a$;

• точка $B$ соответствует прямой $b$;

• $OA = 5$ см, потому что расстояние между $a$ и $m$ равно $5$ см;

• $OB = 3$ см, потому что расстояние между $b$ и $m$ равно $3$ см;

• $AB = 7$ см, потому что расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$ равно расстоянию между их точками в таком перпендикулярном сечении.

Получаем треугольник $OAB$, в котором

Угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между прямыми $OA$ и $OB$ в этом сечении. Обозначим его через $\varphi$.

По теореме косинусов:

Подставим данные:

Отсюда

Но угол между плоскостями обычно понимают как меньший из двух двугранных углов. Если один двугранный угол равен $120^\circ$, то другой равен

Следовательно, угол между плоскостями равен