Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна d и наклонена к плоскости основания под углом v. Найдите площадь:
а) диагонального сечения;
б) боковой поверхности призмы.

Пусть сторона квадратного основания равна \( a \), высота призмы — \( h \). Диагональ призмы равна \( d \) и образует с плоскостью основания угол \( v \).

Высота призмы — это часть диагонали, перпендикулярная основанию:

\[ h=d\sin v \]

Проекция диагонали призмы на основание — диагональ квадрата:

\[ a\sqrt{2}=d\cos v \]

Значит,

\[ a=\frac{d\cos v}{\sqrt{2}} \]

а) Площадь диагонального сечения

Диагональное сечение — прямоугольник со сторонами \( a\sqrt{2} \) и \( h \):

\[ S_{\text{диаг. сеч.}}=d\cos v\cdot d\sin v=d^{2}\sin v\cos v \]

Или:

\[ S_{\text{диаг. сеч.}}=\frac{d^{2}}{2}\sin 2v \]

б) Площадь боковой поверхности

Боковая поверхность правильной четырёхугольной призмы:

\[ S_{\text{бок}}=4ah \]

Подставим \( a \) и \( h \):

\[ S_{\text{бок}}=4\cdot \frac{d\cos v}{\sqrt{2}}\cdot d\sin v=2\sqrt{2}d^{2}\sin v\cos v \]

Или:

\[ S_{\text{бок}}=\sqrt{2}d^{2}\sin 2v \]

0 0 Пожаловаться