Докажите, что если в окружности с центром O проведены две равные хорды MK и NE, то углы MOK и NOE будут равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Так как \(O\) — центр окружности, то \(OM\), \(OK\), \(ON\), \(OE\) — радиусы одной окружности. Значит, \(OM=OK=ON=OE\).

Даны равные хорды: \(MK=NE\). Рассмотрим треугольники \(\triangle MOK\) и \(\triangle NOE\). У них:

• \(OM=ON\), потому что это радиусы;
• \(OK=OE\), потому что это радиусы;
• \(MK=NE\), по условию.

Значит, треугольники равны по трём сторонам. Поэтому равны и соответствующие углы: \(\angle MOK=\angle NOE\).

Обратное утверждение: если в окружности равны центральные углы \(\angle MOK\) и \(\angle NOE\), то соответствующие им хорды \(MK\) и \(NE\) равны.

Доказательство: в треугольниках \(\triangle MOK\) и \(\triangle NOE\) стороны \(OM=ON\) и \(OK=OE\), так как это радиусы. Угол между ними тоже равен: \(\angle MOK=\angle NOE\). Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \(MK=NE\).

0 0 Пожаловаться