Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, у которой площадь основания равна 27√3 см², а полная поверхность — 72√3 см².

Площадь основания правильной треугольной пирамиды равна площади равностороннего треугольника:

\[ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]

По условию:

\[ \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3} \]

Сократим на \( \sqrt{3} \):

\[ \frac{a^2}{4}=27 \]

\[ a^2=108,\quad a=6\sqrt{3} \]

Полная поверхность равна \(72\sqrt{3}\), значит боковая поверхность:

\[ S_{бок}=72\sqrt{3}-27\sqrt{3}=45\sqrt{3} \]

Боковых граней три, поэтому площадь одной боковой грани:

\[ \frac{45\sqrt{3}}{3}=15\sqrt{3} \]

Площадь боковой грани:

\[ \frac{1}{2}al=15\sqrt{3} \]

где \(l\) — апофема пирамиды. Тогда:

\[ \frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot l=15\sqrt{3} \]

\[ 3\sqrt{3}l=15\sqrt{3} \]

\[ l=5 \]

Радиус вписанной окружности основания:

\[ r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6}=3 \]

Высота пирамиды \(h\), апофема \(l\) и радиус \(r\) образуют прямоугольный треугольник:

\[ h^2+r^2=l^2 \]

\[ h^2+3^2=5^2 \]

\[ h^2=16 \]

\[ h=4 \]

Ответ: высота пирамиды равна \(4\) см.

0 0 Пожаловаться