Cos x+sin x+sin 2x+1=0

Решим

Подставим $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

Удобно перейти к подстановке Вейерштрасса: $t=\tan\frac x2$, тогда

После умножения на $(1+t^2)^2$ получаем кубическое уравнение по $t$:

Ищем рациональные корни: $t=-1$ подходит. Делим на $(t+1)$:

Следовательно,

Возвращаемся к $x$: $x=2\arctan t+2\pi k$.
Заметим, что

Отсюда

Проверка подстановкой подтверждает равенство нулю в исходном уравнении. Ответ: