Найти центр и радиус сферы: \(x^2 + y^2 + z^2 - 3x + 4y + 5z - 2 = 0\)

Для нахождения центра и радиуса сферы уравнение можно привести к каноническому виду.

Дано уравнение сферы:

Для этого нужно привести его к виду:

где $(a, b, c)$ — центр сферы, а $R$ — её радиус.

Шаг 1: Группируем одноимённые переменные.

Шаг 2: Завершаем квадрат для каждой переменной.

1. Для $x^2 - 3x$ добавляем и вычитаем $\left(\frac{-3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$:

   $$x^2 - 3x = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}.$$

2. Для $y^2 + 4y$ добавляем и вычитаем $\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$:

   $$y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4.$$

3. Для $z^2 + 5z$ добавляем и вычитаем $\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$:

   $$z^2 + 5z = \left(z + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4}.$$

Шаг 3: Подставляем полученные выражения в исходное уравнение.

Шаг 4: Упрощаем уравнение.

Сначала упростим правую часть:

Теперь уравнение принимает вид:

Преобразуем правую часть: