1) решите уравнения: 1) tg(2x - π/6) = 1 2) ctg(x/2 + π/8) = √3 2) найдите решения, лежащие в указанном промежутке, и запишите их в градусах: 2sin²(2x) + sinx = 1

1. Решение уравнения tg(2x - π/6) = 1:

Тангенс принимает значение 1 при углах, равных π/4 + kπ, где k — целое число. Следовательно, у нас есть:

2x - π/6 = π/4 + kπ

Теперь решим относительно x:

2x = π/4 + kπ + π/6

Приводим к общему знаменателю:

2x = π/4 + π/6 + kπ = (3π/12) + (2π/12) + kπ = 5π/12 + kπ

Теперь делим на 2:

x = 5π/24 + kπ/2

Переводим в градусы:

x = 5 * 180° / 24 + k * 180° / 2 = 37,5° + 90k°, где k — целое число.

Ответ: x = 37,5° + 90k°, где k — целое число.

2. Решение уравнения ctg(x/2 + π/8) = √3:

Котангенс принимает значение √3 при углах x, равных π/6 + kπ, где k — целое число. Таким образом, мы имеем:

x/2 + π/8 = π/6 + kπ

Теперь решим относительно x:

x/2 = π/6 + kπ - π/8

Приводим к общему знаменателю:

x/2 = (4π/24) - (3π/24) + kπ = π/24 + kπ

Умножаем обе стороны на 2:

x = π/12 + 2kπ

Переводим в градусы:

x = 180° / 12 + 360k° = 15° + 360k°, где k — целое число.

Ответ: x = 15° + 360k°, где k — целое число.

3. Решение уравнения 2sin²(2x) + sinx = 1:

Рассмотрим это уравнение. Введем замену: пусть y = sin(2x). Тогда уравнение примет вид:

2y² + y = 1.

Решим это квадратное уравнение:

2y² + y - 1 = 0.

Для решения используем формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.

Корни уравнения:

y = (-b ± √D) / 2a = (-1 ± √9) / 4 = (-1 ± 3) / 4.

Тогда:

y₁ = (-1 + 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2,

y₂ = (-1 - 3) / 4 = -4 / 4 = -1.

Теперь вернемся к переменной sin(2x):

1. sin(2x) = 1/2

Решение этого уравнения:

2x = 30° + 360k° или 2x = 150° + 360k°, где k — целое число.

Тогда:

x = 15° + 180k° или x = 75° + 180k°, где k — целое число.

2. sin(2x) = -1

Решение этого уравнения:

2x = 270° + 360k°, где k — целое число.

Тогда:

x = 135° + 180k°, где k — целое число.

Ответ: x = 15° + 180k°, x = 75° + 180k°, x = 135° + 180k°, где k — целое число.