6sin²x + 7cosx = 1, где корни принадлежат [-π; 2π]

Решим уравнение:

1) Приведём всё к $\cos x$

Используем тождество:

Подставим:

Раскроем скобки:

Перенесём всё в одну сторону:

Умножим на $-1$, чтобы было привычнее:

2) Решим квадратное уравнение относительно $c=\cos x$

Пусть $c=\cos x$. Тогда:

Дискриминант:

Корни:

Получаем:

Значит, остаётся:

3) Найдём все $x$ на отрезке $[-\pi;\,2\pi]$

$\cos x=-\frac12$ при углах:

Теперь отберём те, что лежат в $[-\pi;\,2\pi]$:

• Из $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k$:

  • при $k=0$: $\frac{2\pi}{3}\in[-\pi,2\pi]$ — подходит;

  • при $k=-1$: $\frac{2\pi}{3}-2\pi=-\frac{4\pi}{3}<-\pi$ — не подходит;

  • при $k=1$: $\frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{8\pi}{3}>2\pi$ — не подходит.

• Из $x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k$:

  • при $k=0$: $\frac{4\pi}{3}\in[-\pi,2\pi]$