РЕШИТЕ НЕРАВЕНСТВА (с заменой на t) a) sin2x < 1/2 б) tg5x > 1

a) $\sin 2x < \dfrac12$

Сделаем замену:

Тогда неравенство становится

Сначала вспомним, где $\sin t = \dfrac12$:

На промежутке

синус не меньше $\dfrac12$ (то есть $\sin t\ge \dfrac12$).
Значит, $\sin t < \dfrac12$ выполняется вне этого отрезка, то есть на дополнении к нему.

Удобно записать решение одним промежутком длины $2\pi$, который “обходит” запрещённый участок:

(Концы не включаются, потому что там $\sin t=\dfrac12$, а неравенство строгое.)

Возвращаемся к $x$: $t=2x$, значит делим границы на 2:

Ответ (a):

б) $\tg 5x > 1$

Сделаем замену:

Тогда:

Знаем, что $\tan t = 1$ при

а вертикальные асимптоты (где $\tan t$ не существует) при

На каждом периоде $\pi$ функция $\tan t$ возрастает и становится больше 1 сразу после $\frac{\pi}{4}+\pi k$, оставаясь больше 1 до асимптоты $\frac{\pi}{2}+\pi k$. Поэтому:

Возвращаемся к $x$: $t=5x$, делим границы на 5: