решить уравнение cos(x+π/6)=-1/2

Решим уравнение

Обозначим

Тогда уравнение становится

Значение $\cos t=-\frac12$ достигается на единичной окружности в двух точках за период:

• во II четверти при угле $\frac{2\pi}{3}$,

• в III четверти при угле $\frac{4\pi}{3}$.

С учётом периодичности косинуса $2\pi$ получаем общее решение для $t$:

Возвращаемся к $x$, вычитая $\frac{\pi}{6}$:

x+\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}+2\pi k
\Rightarrow
x=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}+2\pi k=\frac{4\pi}{6}-\frac{\pi}{6}+2\pi k=\frac{\pi}{2}+2\pi k.
]

x+\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{3}+2\pi k
\Rightarrow
x=\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{6}+2\pi k=\frac{8\pi}{6}-\frac{\pi}{6}+2\pi k=\frac{7\pi}{6}+2\pi k.
]

Итак, все решения: