1) lg(x-1) = 1 + lg2 2) lg(3-x) + lg(x+2) = 2lg2

Для решения этих уравнений, давайте рассмотрим каждый из них поочередно.

Уравнение 1: $\lg(x - 1) = 1 + \lg 2$

1. Преобразуем правую часть уравнения:

   $$1 + \lg 2 = \lg 10 + \lg 2$$

   (так как $\lg 10 = 1$).

2. Теперь у нас есть:

   $$\lg(x - 1) = \lg 10 + \lg 2$$

3. Используем свойство логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

   $$\lg(x - 1) = \lg(10 \times 2) = \lg 20$$

4. Теперь, когда у нас одинаковые логарифмы, можем приравнять аргументы:

   $$x - 1 = 20$$

5. Решаем для $x$:

   $$x = 21$$

Ответ для первого уравнения: $x = 21$.

Уравнение 2: $\lg(3 - x) + \lg(x + 2) = 2 \lg 2$

1. Преобразуем правую часть уравнения:

   $$2 \lg 2 = \lg 2^2 = \lg 4$$

2. Теперь у нас есть:

   $$\lg(3 - x) + \lg(x + 2) = \lg 4$$

3. Используем свойство логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

   $$\lg((3 - x)(x + 2)) = \lg 4$$

4. Приравниваем аргументы:

   $$(3 - x)(x + 2) = 4$$

5. Раскроем скобки:

   $$3x + 6 - x^2 - 2x = 4$$

   Упростим:

   $$-x^2 + x + 6 = 4$$

6. Переносим все на одну сторону:

   $$-x^2 + x + 2 = 0$$

7. Умножим на -1, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$:

   $$x^2 - x - 2 = 0$$

8. Решаем это квадратное уравнение:

   $$(x - 2)(x + 1) = 0$$

9. Следовательно, $x = 2$ или $x = -1$.

10. Проверим, подходят ли эти значения для исходного уравнения. Подставим $x = 2$ и $x = -1$ в логарифмические выражения:

• Для $x = 2$: $\lg(3 - 2) + \lg(2 + 2) = \lg 1 + \lg 4 = 0 + \lg 4 = \lg 4$, что верно.

• Для $x = -1$: $\lg(3 - (-1)) + \lg(-1 + 2) = \lg 4 + \lg 1 = \lg 4 + 0 = \lg 4$, что тоже верно.

Таким образом, оба значения подходят.

Ответ для второго уравнения: $x = 2$ или $x = -1$.