Решите log3(x-2)+log3(x+2)=log3(2x-1)

Чтобы решить уравнение $\log_3(x-2) + \log_3(x+2) = \log_3(2x-1)$, сначала воспользуемся свойством логарифмов:

Тогда уравнение примет вид:

Теперь, так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, если их аргументы равны, то получаем:

Используем формулу сокращенного умножения для левой части:

Тогда уравнение становится:

Переносим все на одну сторону:

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта или выделения полного квадрата. Для начала применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

Для уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$, $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$. Подставляем в формулу:

Таким образом, получаем два корня:

Теперь проверим, какой из этих корней подходит для исходного уравнения. Важно, чтобы аргументы логарифмов были положительными, то есть:

• $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$

• $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$

• $2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$

Из этого видно, что $x = -1$ не удовлетворяет этим условиям, потому что оно не больше 2. Поэтому корень $x = -1$ не подходит.

Оставшийся корень $x = 3$ удовлетворяет всем условиям, и это решение.

Ответ: $x = 3$.