Векторы a и b образуют угол 270°. Зная, что |a|=11, |b|=2, вычислить (2a-5b)².

Нужно найти квадрат вектора $(2\mathbf a-5\mathbf b)^2$, то есть его скалярное произведение на самого себя:

Раскроем скобки по формуле:

Здесь $\mathbf x=2\mathbf a$, $\mathbf y=5\mathbf b$. Тогда:

Считаем по частям:

• $(2\mathbf a)^2=|2\mathbf a|^2=4|\mathbf a|^2=4\cdot 11^2=4\cdot 121=484$.

• $(5\mathbf b)^2=|5\mathbf b|^2=25|\mathbf b|^2=25\cdot 2^2=25\cdot 4=100$.

• $(2\mathbf a)\cdot(5\mathbf b)=10(\mathbf a\cdot\mathbf b)$, значит

  $$2(2\mathbf a)\cdot(5\mathbf b)=20(\mathbf a\cdot\mathbf b).$$

Теперь найдём $\mathbf a\cdot\mathbf b$:

Дано $\theta=270^\circ$, а $\cos270^\circ=0$. Поэтому:

Подставляем:

Ответ: $584$.