Найти первообразные для функции: a ) f(x) = 2 - x^3 +1/3 в) f(x) = 1/x^2 - sin x г) f (x) = 5x^2 -1 ------ f (x) = (2x-3)^5 f(x) = 3sin 2x

Конечно! Давай разберём все функции по порядку и найдём их первообразные (то есть функции $F(x)$, у которых $F'(x) = f(x)$).

a) $f(x) = 2 - x^3 + \frac{1}{3}$

Сначала объединим константы: $2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$. Тогда функция:

Первообразная для многочлена находится по правилу: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

в) $f(x) = \frac{1}{x^2} - \sin x$

1. $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$, первообразная: $\int x^{-2} dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$

2. $\int -\sin x dx = \cos x$

Итого:

г) $f(x) = 5x^2 - 1$

1. $\int 5x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5x^3}{3}$

2. $\int -1 dx = -x$

Итого:

д) $f(x) = (2x - 3)^5$

Используем правило замены: если $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$, $n \neq -1$.

Здесь $a = 2$, $b = -3$, $n = 5$:

е) $f(x) = 3\sin 2x$

Используем правило: $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$