Решить уравнение log_1/2(x^2+4x-5)=-4

Ответы на вопрос

Отвечает Смирнов Евгений.

Давай разберём решение уравнения шаг за шагом. У нас есть:

\log_{1/2}(x^2 + 4x - 5) = -4

Для логарифма с основанием $a$ верно:

\log_a(y) = b \quad \Longleftrightarrow \quad a^b = y

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$ , $y = x^2 + 4x - 5$ , $b = -4$ .

Применяем правило:

x^2 + 4x - 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4}

\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16

Теперь уравнение имеет вид:

x^2 + 4x - 5 = 16

x^2 + 4x - 5 - 16 = 0

x^2 + 4x - 21 = 0

Дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100

Корни:

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 10}{2}

x_1 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3

x_2 = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7

Логарифм определён только для положительных чисел:

x^2 + 4x - 5 > 0

Разложим на множители:

x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1)

Неравенство:

(x + 5)(x - 1) > 0

Решаем методом интервалов:

Корни: $x = -5$ и $x = 1$
Интервалы: $(-\infty, -5), (-5, 1), (1, +\infty)$
Проверка знаков:
- $(-\infty, -5)$ : оба множителя отрицательные → произведение положительное ✅
- $(-5, 1)$ : разные знаки → произведение отрицательное ❌
- $(1, +\infty)$ : оба положительные → произведение положительное ✅

Значит, область допустимых значений: $x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)$ .

Оба корня подходят.

x = 3 \quad \text{или} \quad x = -7

Ответы на вопрос