Объясните, пожалуйста, как работать с корнями в основании логарифмов. Буду крайне признательна.

В логарифме основание стоит внизу: \(\log_a b\). Здесь \(a\) — основание, \(b\) — число под логарифмом.

Если в основании есть корень, его удобно заменить степенью:

\(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\), \(\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}\).

Главное правило:

\[\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b\]

Пример:

\[\log_{\sqrt{2}} 8 = \log_{2^{\frac{1}{2}}} 8 = \frac{1}{\frac{1}{2}}\log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6\]

Почему \(\log_2 8 = 3\)? Потому что \(2^3 = 8\).

Ещё пример:

\[\log_{\sqrt[3]{3}} 9 = \log_{3^{\frac{1}{3}}} 9 = 3\log_3 9 = 3 \cdot 2 = 6\]

Запомнить можно так: корень в основании превращаем в дробную степень, а потом используем правило для степени в основании логарифма.

0 0 Пожаловаться