помогите решитьнайти число корней уравнения[tex]2 \sin(3x) \sin(x) + \cos(2x) + 2 =

Ответы на вопрос

Отвечает Сыздыкова Александра.

Решим уравнение:

2\sin(3x)\sin x + \cos(2x) + 2 = 0

Используем формулы:

\sin(3x)=3\sin x - 4\sin^3 x,\quad \cos(2x)=1-2\sin^2 x

Подставим:

2(3\sin x - 4\sin^3 x)\sin x + (1 - 2\sin^2 x) + 2 = 0

Раскроем:

2(3\sin^2 x - 4\sin^4 x) + 1 - 2\sin^2 x + 2 = 0

6\sin^2 x - 8\sin^4 x + 1 - 2\sin^2 x + 2 = 0

Соберём подобные:

-8\sin^4 x + 4\sin^2 x + 3 = 0

Пусть $t = \sin^2 x$ , тогда:

-8t^2 + 4t + 3 = 0

Умножим на -1:

8t^2 - 4t - 3 = 0

Решим квадратное уравнение:

t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 96}}{16} = \frac{4 \pm \sqrt{112}}{16}

\sqrt{112} = 4\sqrt7

t = \frac{4 \pm 4\sqrt7}{16} = \frac{1 \pm \sqrt7}{4}

t = \frac{1 + \sqrt7}{4} \in (0,1)

t = \frac{1 - \sqrt7}{4} < 0 \quad (\text{не подходит})

Значит:

\sin^2 x = \frac{1 + \sqrt7}{4}

Обозначим:

\sin x = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt7}{4}}

Это число лежит между 0 и 1, значит оба случая допустимы.

Отрезок:

\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]

имеет длину $2\pi$ , то есть ровно один период синуса.

Для любого значения $a\in(0,1)$ :

Так как значения не равны 0 и не повторяются, пересечений нет.

Итого:

2 + 2 = 4

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Последние заданные вопросы в категории Алгебра

помогите решить

найти число корней уравнения
[tex]2 \sin(3x) \sin(x) + \cos(2x) + 2 = 0[/tex]
лежащих на отрезке [-п/2;3п/2]