cos 3x>(корень из 3) sin 3x (тригонометрическое неравенство) заранее благодарю вас

Решим неравенство:

\[ \cos 3x > \sqrt{3}\sin 3x \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ \cos 3x - \sqrt{3}\sin 3x > 0 \]

Выразим левую часть через косинус суммы:

\[ \cos 3x - \sqrt{3}\sin 3x = 2\left(\frac{1}{2}\cos 3x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x\right) \]

Так как

\[ \cos\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\cos 3x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x, \]

получаем:

\[ 2\cos\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)>0 \]

Число \( 2 \) положительное, значит:

\[ \cos\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)>0 \]

Косинус положителен на промежутках:

\[ -\frac{\pi}{2}+2\pi k < 3x+\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}+2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z} \]

Вычтем \( \frac{\pi}{3} \):

\[ -\frac{5\pi}{6}+2\pi k < 3x < \frac{\pi}{6}+2\pi k \]

Разделим на \( 3 \):

\[ -\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} < x < \frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}, \quad k\in\mathbb{Z} \]

Ответ:

\[ x\in\left(-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3};\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}\right), \quad k\in\mathbb{Z}. \]

0 0 Пожаловаться