Площадь наибольшего диагонального сечения правильной шестиугольной призмы равна 1 м². Найти площадь боковой поверхности призмы.

Рассмотрим правильную шестиугольную призму: основание — правильный шестиугольник со стороной $a$, высота призмы — $h$. Призма прямая, поэтому боковые рёбра перпендикулярны основанию.

1) Что такое диагональное сечение призмы и какое из них наибольшее

Диагональным сечением прямой призмы называют сечение плоскостью, проходящей через диагональ основания и параллельной боковым рёбрам. Такое сечение всегда является прямоугольником:

• одна сторона прямоугольника равна высоте призмы $h$;

• другая сторона равна длине выбранной диагонали основания.

Значит площадь диагонального сечения равна

где $d$ — длина диагонали основания.

У правильного шестиугольника есть диагонали двух типов:

• “короткая” диагональ через одну вершину: $d_1 = a\sqrt{3}$;

• “длинная” диагональ через противоположные вершины (самая большая): $d_2 = 2a$.

Наибольшее диагональное сечение соответствует самой большой диагонали, то есть $d = 2a$.

2) Используем условие о площади наибольшего диагонального сечения

По условию

А для наибольшего диагонального сечения:

3) Площадь боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:

Периметр правильного шестиугольника:

Тогда

Подставляем найденное $ah = \frac{1}{2}$:

Ответ: $3\ \text{м}^2$.