В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17 : 15, а боковая сторона равна 34 см. Найдите основание треугольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 34 см и основанием $b$. Проведём высоту $h$ из вершины к основанию. В равнобедренном треугольнике высота к основанию одновременно является медианой и биссектрисой, поэтому центр вписанной окружности (инцентр) лежит на этой высоте.

1) Как именно инцентр делит высоту

Сказано, что инцентр делит высоту в отношении $17:15$. Естественно понимать это так:

Обозначим:

• $AI = 17k$ — верхний отрезок высоты,

• $ID = 15k$ — нижний отрезок до основания,

• тогда вся высота $AD = AI + ID = 32k$.

Но расстояние от инцентра до стороны (в частности, до основания) равно радиусу вписанной окружности $r$. Так как инцентр лежит на высоте, а эта высота перпендикулярна основанию, то

Следовательно,

2) Выразим $\frac{r}{h}$ через основание $b$

Из формулы радиуса вписанной окружности:

где $S$ — площадь, $p$ — полупериметр.

Площадь через основание и высоту:

Полупериметр:

Тогда

Приведём знаменатель:

Значит,

Делим на $h$:

3) Приравниваем к данному отношению

Мы уже получили, что $\frac{r}{h}=\frac{15}{32}$, значит:

Перемножаем крест-накрест:

Ответ

Основание треугольника равно 60 см.