Sin (p/2+t)-cos (p-t)+tg (p-t)+ctg (5p/2-t)

Для упрощения выражения $\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos(\pi - t) + \tan(\pi - t) + \cot\left(\frac{5\pi}{2} - t\right)$, давайте разобьем его на части и используем тригонометрические тождества.

1. Первая часть: $\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$
   По формуле для синуса суммы углов, $\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos(t)$. Это стандартное тождество.

2. Вторая часть: $-\cos(\pi - t)$
   Используем тождество для косинуса угла, $\cos(\pi - t) = -\cos(t)$. Тогда эта часть примет вид $-(-\cos(t)) = \cos(t)$.

3. Третья часть: $\tan(\pi - t)$
   Для тангенса выполняется тождество $\tan(\pi - t) = -\tan(t)$, поэтому эта часть становится $-\tan(t)$.

4. Четвертая часть: $\cot\left(\frac{5\pi}{2} - t\right)$
   Известно, что $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$, и поскольку котангенс имеет период $\pi$, то $\cot\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - t\right)$.
   Используем тождество для котангенса: $\cot\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \tan(t)$. Поэтому эта часть выражения равна $\tan(t)$.

Теперь подставим все части в исходное выражение:

Заметили, что $-\tan(t) + \tan(t) = 0$, и поэтому выражение упрощается до:

Итак, окончательный результат: