В прямой призме ABCA₁B₁C₁, AB=12, BC=21, AC=20. Диагональ боковой грани A₁C составляет с плоскостью

Ответы на вопрос

Отвечает Смирнов Евгений.

Основание призмы — треугольник $ABC$ со сторонами $AB=12,\ BC=21,\ AC=20$ . Призма прямая, значит её высота равна боковому ребру $h=AA_1$ , а боковая поверхность равна $P_{\triangle ABC}\cdot h$ .

1) Площадь основания

По формуле Герона:

p=\frac{12+21+20}{2}=\frac{53}{2}

S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-12)(p-21)(p-20)} =\sqrt{\frac{53}{2}\cdot\frac{29}{2}\cdot\frac{11}{2}\cdot\frac{13}{2}} =\sqrt{\frac{53\cdot29\cdot11\cdot13}{16}}

53\cdot29\cdot11\cdot13=219791 \Rightarrow S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}\sqrt{219791}

2) Связь угла с высотой призмы

Плоскость грани $CC_1BB_1$ — это боковая грань, построенная на ребре $BC$ . Точка $C$ лежит в этой плоскости. Расстояние от точки $A_1$ до этой плоскости равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BC$ в основании (так как призма прямая и перенос вверх параллелен плоскости основания).

Обозначим $H$ — основание перпендикуляра из $A$ на $BC$ . Тогда

AH = \text{расстояние от } A \text{ до } BC, \quad \text{и оно же } = \text{расстояние от } A_1 \text{ до плоскости } CC_1BB_1.

Для прямой $A_1C$ , составляющей с плоскостью $CC_1BB_1$ угол $30^\circ$ , выполняется:

\sin 30^\circ=\frac{\text{перпендикулярная к плоскости составляющая}}{\text{длина отрезка}} =\frac{AH}{A_1C}

\frac{1}{2}=\frac{AH}{A_1C}\Rightarrow A_1C=2AH

Найдём $AH$ через площадь основания:

S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\,BC\cdot AH \Rightarrow AH=\frac{2S_{\triangle ABC}}{BC} =\frac{2\cdot \frac14\sqrt{219791}}{21} =\frac{1}{42}\sqrt{219791}

Тогда

A_1C=2AH=\frac{1}{21}\sqrt{219791}

В прямой призме ABCA₁B₁C₁, AB=12, BC=21, AC=20. Диагональ боковой грани A₁C составляет с плоскостью грани CC₁BB₁ угол 30°. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Ответы на вопрос

1) Площадь основания

2) Связь угла с высотой призмы

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия