Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раза больше проведённой к ней высоты. Найти острые

Ответы на вопрос

Отвечает Грекова Екатерина.

Давайте разберём задачу шаг за шагом, как это делается в школьной геометрии.

Дано:

Прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и проведённой к ней высотой $h$ . Известно, что

c = 4h

Нужно найти острые углы треугольника.

Шаг 1: Используем формулу для высоты на гипотенузу.

Для прямоугольного треугольника высота $h$ , проведённая к гипотенузе, выражается через катеты $a, b$ и гипотенузу $c$ как:

h = \frac{a \cdot b}{c}

Или через стороны $a, b$ и $c$ через площадь:

\text{Площадь } S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} c h \implies h = \frac{a b}{c}

Шаг 2: Подставляем условие $c = 4h$ .

c = 4 \cdot \frac{a b}{c} \implies c^2 = 4 a b

То есть имеем связь между катетами и гипотенузой:

a b = \frac{c^2}{4}

Шаг 3: Используем теорему Пифагора.

a^2 + b^2 = c^2

Сейчас у нас есть система:

Шаг 4: Введём соотношение через отношение катетов.

Пусть $\frac{a}{b} = t > 0 \implies a = t b$ . Тогда:

a b = t b \cdot b = t b^2 = \frac{c^2}{4} \implies b^2 = \frac{c^2}{4 t} \implies b = \frac{c}{2 \sqrt{t}}

А катет $a = t b = \frac{c \sqrt{t}}{2}$ .

Шаг 5: Подставляем в Пифагорову теорему.

a^2 + b^2 = \left(\frac{c \sqrt{t}}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2 \sqrt{t}}\right)^2 = c^2

Вычисляем:

\frac{c^2 t}{4} + \frac{c^2}{4 t} = c^2 \implies \frac{t + \frac{1}{t}}{4} = 1 \implies t + \frac{1}{t} = 4

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение.

t + \frac{1}{t} = 4 \implies t^2 - 4t + 1 = 0

Дискриминант:

D = 16 - 4 = 12 \implies t = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}

Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раза больше проведённой к ней высоты. Найти острые углы треугольника.