Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см, а высота, проведённая к основанию, — 15 см. Найдите стороны треугольника.

Для нахождения сторон равнобедренного треугольника, давайте разобьём задачу на несколько этапов.

1. Обозначения и данные:

   • Пусть основание треугольника будет равно $x$ см.

   • Боковые стороны равнобедренного треугольника равны и обозначим их как $a$ см.

   • Периметр треугольника равен 90 см, следовательно:

     $$2a + x = 90$$

   • Высота, проведённая к основанию, равна 15 см. Эта высота делит основание на две равные части, каждую длиной $\frac{x}{2}$.

2. Применим теорему Пифагора:
   Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных высотой, основанием и боковой стороной. В этом треугольнике:

   • Гипотенуза — это боковая сторона $a$,

   • Один катет — это половина основания $\frac{x}{2}$,

   • Второй катет — это высота 15 см.

   Согласно теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника:

   $$a^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + 15^2$$

   Это даёт уравнение:

   $$a^2 = \frac{x^2}{4} + 225$$

3. Используем периметр:
   Мы знаем, что $2a + x = 90$, отсюда выражаем $x$:

   $$x = 90 - 2a$$

4. Подставим выражение для $x$ в уравнение Пифагора:
   Подставляем $x = 90 - 2a$ в уравнение:

   $$a^2 = \frac{(90 - 2a)^2}{4} + 225$$

   Раскроем скобки:

   $$a^2 = \frac{(8100 - 360a + 4a^2)}{4} + 225$$

   Упростим:

   $$a^2 = 2025 - 90a + a^2 + 225$$

   Переносим все термины, содержащие $a$, в одну сторону:

   $$0 = 2025 + 225 - 90a$$

   Упростим:

   $$0 = 2250 - 90a$$

   Решаем для $a$:

   $$90a = 2250$$ $$a = 25$$

5. Найдём $x$:
   Теперь, зная $a = 25$, можем найти $x$ из уравнения для периметра:

   $$x = 90 - 2 \times 25 = 90 - 50 = 40$$

6. Ответ:
   Стороны равнобедренного треугольника равны 25 см и 40 см.