Найти dy и d²y, если y = tg(x²)

Давай разберём это шаг за шагом. Нам нужно найти первую и вторую производные функции

1. Первая производная $dy$

Используем правило цепочки. Напомним, что

Здесь $u = x^2$, значит $du/dx = 2x$.

Тогда:

или в дифференциальной форме:

2. Вторая производная $d^2y$

Теперь найдём $d^2y/dx^2$, используя правило произведения и цепочки:

Раскроем производную:

1. Первая часть: $\frac{d}{dx}(2x) \cdot \sec^2(x^2) = 2 \sec^2(x^2)$

2. Вторая часть: нужно производную $\frac{d}{dx}(\sec^2(x^2))$.

Напомним, что $\frac{d}{dx}(\sec^2(u)) = 2 \sec^2(u) \tan(u) \cdot \frac{du}{dx}$.

Здесь $u = x^2$, $du/dx = 2x$, значит:

Умножаем на $2x$ (вторая часть):

3. Сложим части

или в дифференциальной форме: