1) ABCDEF — правильный шестиугольник. Найти угол CAE. 2) В окружность вписан правильный шестиугольник с периметром 18 см. Найдите радиус окружности.

1) Найти угол $CAE$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$

В правильном шестиугольнике все стороны равны, а все центральные углы, соответствующие сторонам, равны $60^\circ$.

Рассмотрим вершины $A, C, E$. Угол $CAE$ является вписанным углом окружности, если шестиугольник вписан в окружность. Он опирается на дугу $CE$, которая проходит через вершину $D$.

Дуга $CE$ состоит из двух дуг правильного шестиугольника:

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

Ответ:

2) В окружность вписан правильный шестиугольник с периметром 18 см. Найти радиус окружности

Периметр правильного шестиугольника равен сумме его шести сторон:

где $a$ — длина стороны.

По условию:

У правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона равна радиусу этой окружности. Это происходит потому, что каждая сторона является хордой, стягивающей центральный угол $60^\circ$, а такая хорда равна радиусу.

Следовательно:

Ответ: