Log2(3x+1)log3 x=2 log2(3x+1)

Для решения уравнения $\log_2(3x+1) \log_3 x = 2 \log_2(3x+1)$ начнём с преобразования выражений и замены логарифмов на более удобные для работы.

1. Избавимся от логарифмов с разными основаниями, используя свойства логарифмов. Первым шагом можно выразить логарифм с основанием 3 через логарифмы с основанием 2:

   $$\log_3 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 3}$$

   Подставим это в исходное уравнение:

   $$\log_2(3x+1) \cdot \frac{\log_2 x}{\log_2 3} = 2 \log_2(3x+1)$$

2. Умножим обе стороны уравнения на $\log_2 3$ (предполагаем, что $\log_2 3 \neq 0$):

   $$\log_2(3x+1) \cdot \log_2 x = 2 \log_2(3x+1) \cdot \log_2 3$$

3. Теперь разделим обе стороны уравнения на $\log_2(3x+1)$, при условии, что $\log_2(3x+1) \neq 0$ (то есть $3x+1 \neq 1$, то есть $x \neq 0$):

   $$\log_2 x = 2 \log_2 3$$

4. Из последнего уравнения можно выразить $x$:

   $$\log_2 x = \log_2 9$$

   Это означает, что $x = 9$.

5. Проверим решение $x = 9$ в исходном уравнении:
   Подставляем $x = 9$ в исходное уравнение:

   $$\log_2(3 \cdot 9 + 1) \log_3 9 = 2 \log_2(3 \cdot 9 + 1)$$

   Получаем:

   $$\log_2 28 \cdot \log_3 9 = 2 \log_2 28$$

   Поскольку $\log_3 9 = 2$, уравнение преобразуется в:

   $$\log_2 28 \cdot 2 = 2 \log_2 28$$

   Уравнение выполняется, так как обе стороны равны.

Ответ: $x = 9$.