Найти корень уравнения \( 3^x - 3 = 81 \).

Чтобы найти корень уравнения $3^x - 3 = 81$, сначала нужно решить его шаг за шагом:

1. Переносим число -3 на правую сторону уравнения:

2. Попробуем представить 84 как степень числа 3. Однако, мы видим, что 84 не является целой степенью числа 3 (например, $3^4 = 81$, а $3^5 = 243$, и между ними нет числа, равного 84). Это означает, что у уравнения нет решения в виде целого числа $x$, если мы работаем с простыми степенями.

3. Для нахождения точного значения $x$, применим логарифм. Мы можем взять логарифм обеих частей уравнения по основанию 3:

Используя свойство логарифмов, $\log_b (a^c) = c \log_b (a)$, получаем:

4. Рассчитываем логарифм по основанию 3. Для этого используем формулу перехода к натуральному логарифму:

Теперь подставляем значения логарифмов:

Таким образом, корень уравнения $3^x - 3 = 81$ примерно равен $x \approx 4.04$.