Решите уравнение Sin(2/3)x=1/2

Чтобы решить уравнение $\sin\left(\frac{2}{3}x\right) = \frac{1}{2}$, нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют этому уравнению.

1. Известное значение синуса:
   Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, поэтому можно сказать, что $\frac{2}{3}x = \frac{\pi}{6}$, но также существуют другие углы, для которых синус равен $\frac{1}{2}$.

2. Общее решение для синуса:
   Уравнение $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$ имеет два решения на интервале $[0, 2\pi)$:

   $$\theta = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{или} \quad \theta = \pi - \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{для любого целого числа} \ n.$$

   То есть, $\theta = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ и $\theta = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$.

3. Подставим $\frac{2}{3}x$ вместо $\theta$:
   Мы получаем два возможных уравнения для $\frac{2}{3}x$:

   $$\frac{2}{3}x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{или} \quad \frac{2}{3}x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi.$$

4. Решаем для $x$:
   Для первого уравнения:

   $$\frac{2}{3}x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}\left(\frac{\pi}{6} + 2n\pi\right) = \frac{\pi}{4} + 3n\pi.$$

   Для второго уравнения:

   $$\frac{2}{3}x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}\left(\frac{5\pi}{6} + 2n\pi\right) = \frac{5\pi}{4} + 3n\pi.$$

5. Общее решение:
   Таким образом, общее решение уравнения $\sin\left(\frac{2}{3}x\right) = \frac{1}{2}$ будет:

   $$x = \frac{\pi}{4} + 3n\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 3n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.$$