Найдите первообразную для функции f(x): а) f(x)=sin⁡x+cos⁡3x-2^x; б) f(x)=√x-x^(3/4)+1/x;

а) Нужно найти $F(x)$, такую что $F'(x)=\sin x+\cos 3x-2^x$.

Разобьём на сумму и проинтегрируем по частям:

1. $\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x$, потому что $\frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x$.

2. $\displaystyle \int \cos 3x\,dx$. Используем правило: $\int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax)$.
   Здесь $a=3$, значит

3. $\displaystyle \int (-2^x)\,dx = -\int 2^x\,dx$.
   Известно: $\displaystyle \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}$ при $a>0,\ a\neq 1$.
   Тогда

Складываем:

б) Нужно найти $F(x)$, такую что $F'(x)=\sqrt{x}-x^{3/4}+\frac{1}{x}$.

Перепишем степени:

Интегрируем по слагаемым, используя правило $\displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ при $n\neq -1$, а также $\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|$.

1. $\displaystyle \int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}$.

2. $\displaystyle \int (-x^{3/4})\,dx=-\frac{x^{7/4}}{7/4}=-\frac{4}{7}x^{7/4}$.

3. $\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|$.

Итог: